• Jean Mairesse (LIAFA) : Le monoïde de traces
  
• Sylvain Lombardy (LIAFA) : Théorie spectrale (max,+)
  
• Xavier Dartois (LIX) : Modèle du tas de sable abélien
  Modèle du tas de sable abélien et une généralisation naturelle: le modèle orientation-hauteur.
  L'exposé se décompose naturellement en deux parties, une sur le modèle du tas de sable et l'autre sur le modèle orientation-hauteur. Le plan sera le suivant:
  • Tas de sable Abélien
    • Historique
    • Configurations récurrentes
    • Structure de groupe Abélien
  • Modèle orientation-hauteur
    • Définition
    • Configurations récurrentes et groupe
    • Algorithme thermique étendu
    • Addition étendue
• Marc Lelarge (TREC-INRIA) : Asymptotique de grand buffer pour des réseaux de files d'attente avec du trafic transverse auto-similaire
  Nous considérons la distribution stationnaire du délai de bout en bout dans un réseau de files d'attente qui reçoivent chacune un trafic transverse auto-similaire. Nous supposons que le trafic transverse arrivant à chacune des files est modélisé par exemple pour la file i par un mouvement brownien fractionnaire avec un paramètre de Hurst H_i compris entre 1/2 et 1 et est indépendant des autres files. Le processus des arrivées dans le réseau est un processus de renouvellement. Deux types de réseaux ont été considérés. Dans le cas de files d'attente en série et plus généralement dans tout type de réseaux ayant une structure arborescente, nous montrons que le délai de bout en bout est complètement dominé par l'une des files. La file dominante est celle qui possède le paramètre de Hurst maximal. Si plusieurs files ont le même paramètre de Hurst, le ratio (1-rho)^H/sigma permet de déterminer la file dominante (rho correspond a la charge de la file). Dans le cas d'un réseau contrôlé par un mécanisme de contrôle de flux par fenêtre, le délai de bout en bout est encore asymptotiquement weibullien avec le même paramètre de forme. Nous donnons des bornes supérieure et inférieure sur la constante qui détermine le paramètre d'échelle.
• Moez Draief (LIAFA) : La file M/M/1
  Dans un première partie, j'introduirai la notion de grandes déviations. La théorie des grandes déviations s'intéresse principalement à l'étude des probabilités des événements "très rares". Une des applications de cette théorie consiste en l'étude des queues de distributions, cet aspect introduit au départ pour les calculs de primes d'assurance a trouvé des applications dans divers domaines dont la théorie des files d'attente et le contrôle de congestion dans les réseaux.
  
  Dans une deuxième partie, j'énoncerai un résultat de point fixe, à l'échelle des grandes déviations, pour la file d'attente M/M/1. Plus précisement, étant donnée une suite de temps de service vérifiant un principe de grandes déviations il existe une classe de processus d'arrivées telle que les variables de sortie du système (départ et temps passé en fin de queue) vérifient des principes de grandes déviations avec les mêmes fonctions de taux que les variables d'entrée (arrivée et service).
• James Martin (LIAFA) : Distributions à décroissance lente et percolation du dernier temps de passage
  Je parlerai du modèle de "percolation orientée de dernier passage" (qui modélise, par exemple, les systèmes de files d'attente en tandem). En particulier j'essaierai de décrire le comportement du modèle dans le cas où les poids (i.e. les temps de service) sont "lourds", c'est-à-dire choisis suivant une distribution de décroissance lente (e.g. Prob(X>x) ~ x^{-a}, a<2 ).
• Jean Mairesse (LIAFA) : Marches aléatoires sur le groupe de tresse B3
  
  • Marches aléatoires sur les groupes et monoïdes. La notion de mesure harmonique.
  • Le cas du monoïde (ou groupe) de trace < a,b,c | ab=ba >: la mesure harmonique n'est pas markovienne.
  • Le cas du groupe de tresse B3=< a,b | aba=bab >, ou comment se ramener à l'étude d'une mesure harmonique markovienne. Conséquence : une formule exacte pour la vitesse de fuite.
• Samy Abbes (IRISA - Rennes) : Systèmes probabilistes concurrents en temps discret : utilisation de méthodes projectives
  Parmi les modèles de concurrence, certains comme les réseaux de Petri, les structures d'événements ou les réseaux d'occurrence, peuvent être étudiés sous une dynamique de "concurrence forte" (true-concurrency). L'extension probabiliste de tels modèles conduit à la probabilisation d'ordres partiels. Dans un modèle de réseau de Petri, il s'agit de probabiliser les séquences de tirs, à équivalence de trace près. Une telle approche, dans les structures infinies telles que les structures d'événements, demande l'application d'un théorème d'extension de mesures de probabilité. Les auteurs introduisent différentes conditions pour permettre cette application. Nous verrons comment les méthodes de systèmes projectifs de mesures de probabilité permettent d'apporter une condition nécessaire et suffisante pour l'application directe des théorèmes d'extension de mesures de probabilité. Suivant le temps, on discutera de l'application de cette approche à la probabilisation sans mémoire d'un réseau de Petri sous une dynamique de concurrence forte.
• Enrica Duchi (EHESS) : Une approche combinatoire du processus d'exclusion asymétrique sur une ligne
  Les premières 45 minutes, je voudrais vous proposer un exposé plus général sur une thématique qui touche à la modélisation du trafic routier. Plus précisement, je voudrais parler, sans trop l'approfondir, des différents types de modèles qui ont été introduits, avec une attention particulière pour les automates cellulaires stochastiques. En particuler on verra l'automate de Nagel-Schreckenberg, très connu pour ce qui regarde la modèlisation du trafic. Dans les deuxièmes 45 minutes, je voudrais vous parler du modele TASEP, un modèle très étudié par des physiciens, qui est un cas particulier du modèle de Nagel-Schreckenberg. Le TASEP est un automate cellulaire stochastique, ses configurations sont constituées par des particules distribuées sur une ligne. Au temps t, une particule est choisie au hasard et saute d'une case vers la droite si la case est vide. Ce modèle a été resolu par des physiciens, qui ont trouvé que sa distribution stationnaire est liée aux nombres de Catalan, très connus en combinatoire. Avec Gilles Schaeffer, je me suis donc intéressée à ce modèle, et nous avons donné une explication combinatoire de l'apparition des nombres de Catalan. Dans cette deuxième partie je voudrais décrire notre approche combinatoire.
• Augustin Chaintreau (ENS-INRIA) : Dernière Percolation dirigée sur des graphes, Etude des grands réseaux à contraintes d'exclusion
  J'aimerais vous présenter d'abord le contexte analytique existant qui a motivé nos travaux, qui est l'étude de l'écoulement dans une ligne infinie de files d'attente infinies, car la première question que nous nous sommes posé est la possible généralisation des résultats qualitatifs connus ("transition de phase" en fonction de la volatilité des temps de service) à des séquences d'objets en série plus complexes.
  Motivé par un exemple, cette question nous aménera naturellement à considérer une généralisation supplémentaire de ce réseau infini (l'ajout de contraintes d'exclusion de proche en proche). La correspondance avec des dernières percolations dirigées, dans un graphe plus complexe, unifie encore ces deux problèmes mais ne permet pas de conclure qualitativement en toute généralité. Je tacherais dans une seconde partie de présenter les cas particuliers qui nous sont connus, et les questions qui restent ouvertes.
• Nazim Fates (ENS Lyon) : Du comportement asynchrone des automates cellulaires
  Les automates cellulaires ont acquis leur réputation comme modèles de calcul massivement parallèles, comme systèmes dynamiques discrets hautement imprédictibles ou comme générateurs d'images psychédéliques. Si on les utilise classiquement avec l'hypothèse de synchronie parfaite; on peut aussi étudier leur comportement asynchrone, c.-à-d. lorsque toutes les transitions ne sont pas simultanées. Dans ces conditions, un AC garde-t-il le même comportement ? Si non, comment estimer qualitativement ses différences de comportement (en termes d'attracteurs, de transitoires, etc.) ? Comment expliquer l'apparition de transitions de phase pour des AC au comportement simple en mode synchrone ? Ces questions, issues d'un travail en cours, seront abordées dans un exposé qui se voudra pour une grande part informel.
• Glenn Merlet (IRMAR, Université Rennes 1) : Propriété de perte de mémoire et théorèmes limites pour les produits de matrices aléatoires dans (|R, max, +)
  Soit (n)$ une suite i.i.d. de matrices à coefficients dans le semi-anneau (max,+). La suite (n,x_0)$ est définie par (0,x_0)=x_0$ et (n,x_0)=A(n)x(n-1,x_0)$. On s'intéresse aux théorèmes limites pour (n,x_0)$. Après une brève présentation du modèle, on rappellera les résultats existants et on énoncera les résultats du second ordre (TCL,TLL, ...) obtenus sous l'hypothèse dite de "perte de mémoire." On montrera ensuite en quoi cette "perte de mémoire" est générique : si le support de (1)$ n'est pas dégénéré, elle est vérifiée. Dans un troisième temps, on présentera la méthode dite du trou spectral qui permet d'obtenir les théorèmes précédents.
• Matthieu Picantin (LIAFA) : Combinatoire des groupes d'Artin-Tits
  Les groupes d'Artin-Tits peuvent être vus comme des groupes de Coxeter auxquels on a (artificiellement?) enlevé la torsion.
  Cet exposé devrait constituer une introduction à la combinatoire de ces groupes infinis et finiment présentés (groupes parmi lesquels figurent les groupes de tresses d'Artin). Nous aborderons des notions comme le retournement de mots qui s'apparente à la complétion de Knuth-Bendix et qui permet, dans certains cas, de résoudre le problème de mots. Nous présenterons l'approche à la Garside qui consiste à utiliser la structure de treillis de certains sous-monoïdes dont ces groupes sont groupes de fractions. Cette approche permet en particulier de résoudre le problème de mots, le problème de conjugaison, mais également d'exhiber des structures automatiques et de décrire explicitement des transducteurs qui calculent des formes normales en temps quadratique.
  Les points les plus techniques feront l'objet du second exposé.
• Anne Bouillard (ENS Lyon) : Débits extrémaux dans les réseaux de Petri à choix libres
  Dans cet exposé, je parlerai du débit dans les réseaux de Petri à choix libres vivants bornés, routés et temporisés. Dans une première partie, après avoir défini la notion de débit dans les réseaux temporisés, je montrerai comment calculer ce débit pour des routages périodiques et trouver les routages qui donnent les débits extrémaux (minimal et maximal) dans deux cas simples : pour les routages "0-1" et pour des temporisations rationnelles. Dans une deuxième partie, je montrerai comment calculer le débit minimal pour des réseaux à choix libres 1-bornés. La méthode utilisée montre que le routage permettant d'atteindre ce débit est "presque 0-1".
• Cormac Walsh (INRIA Rocquencourt) : Idempotent Potential Theory
  We develop an idempotent version of probabilistic potential theory. The goal is to describe the set of max-plus harmonic functions, which give the stationary solutions of deterministic optimal control problems with additive reward.
  It turns out that the analogue of the Martin compactification is a generalisation of the compactification of metric spaces using Busemann functions. We also define an analogue of the minimal Martin boundary and show that it can be identified with the set of limits of ``almost-geodesics''.
  The main results are analogues of the Martin representation theorem and the uniqueness of the spectral measure.
  The talk will finish with a survey of the known results in the metric space case.
  Part of the work is joint work with Marianne Akian and Stephane Gaubert.
• Jacques Sakarovitch (CNRS - ENST) : Le groupe de Grigorschuk
  R. I. Grigorchuk a donné à la fin des annèes 70 (*) un exemple _simple_ de groupe infini G , finiment engendré, et dont tous les éléments sont d'ordre fini. Il décrit G comme groupe de transformations de l'intervalle [0,1] .
  Je proposerai une description un peu plus combinatoire de G , vu comme groupe de transformations de {0,1}* dans lui-même. En suivant pas à pas les preuves originales, on peut alors donner de chaque élément de G une représentation unique sous la forme d'un arbre binaire (qui est aussi un transducteur lettre à lettre) sur laquelle on calcule simplement l'ordre de l'élément ainsi représenté.
  Ce groupe G , et ses variantes, ont été repris par la suite par Grigorchuk dans ses travaux sur les groupes à croissance intermédiaire et, sous une forme beaucoup plus proche de celle proposée ici, dans ses travaux ultérieurs sur les groupes et les automates. Cet exposé est donc une introduction à la lecture de l'article "Automata, Dynamical Systems, and Groups" prévue par le groupe de travail SED.
  * R. I. G., Burnside's Problem on Periodic Group, Functional analysis and its applications 14 (1980) 42-43. Traduit du russe.
• James Martin (LIAFA) : Modèle d'exclusion avec plusieurs types de particules
  Je parlerai du "totally asymmetric simple exclusion process" (TASEP), un modèle simple de particules en interaction, qui a été utilisé aussi comme modèle de flux de circulation (comme dans l'exposé d'Enrica Duchi dans ce groupe de travail l'année dernière).
  En particulier, je considérerai des systèmes avec n types de particules (n-TASEPs).
  Omer Angel a donné récemment une construction des mesures stationnaires pour le 2-TASEP, à partir d'un couple de mesures produits indépendantes.
  Je décrirai comment la construction d'Angel peut s'interpréter comme l'évolution d'une file d'attente M/M/1; les deux mesures produits correspondent aux processus des arrivées et des services de la file. Puis je montrerai une extension de cette construction, pour représenter les mesures stationnaires d'un n-TASEP à partir d'un système de files d'attente en tandem.
• Flavio d'Alessandro (Université de Rome) : Automates min-plus
  Dans cet exposé, nous ferons une remarque sur une question de complexité concernant une propriété classique des langages formels, la propriété de puissance finie. D'après un résultat de Jacques Sakarovitch et moi-même, cette propriété est décidable pour les partie rationelles du groupe libre. La procédure de décision est basée sur la construction d'un certain automate à multiplicités dans le semi-anneau tropical. La construction de cet automate est une extension au cas 'min-plus' de l'algorithme, bien connu, proposé par Sakarovitch et Benois pour la construction de l'ensemble des mots réduits qui représentent une partie rationnelle du groupe libre.
  
  Nous ferons quelques remarques sur cette construction.
• Flavio d'Alessandro (Université de Rome) : Groupe libre de quaternions
  La construction des groupes libres joue un rôle important dans la solution de plusieurs problèmes mathématiques : par exemple celui des conditions de commutation et de finitude pour les anneaux, ou l'étude du célèbre Paradoxe de Banach-Tarski (construction d'une décomposition paradoxale de la sphère). Dans ce cadre théorique, un des résultats les plus connus a été démontre par J. Tits (1972) et établit le fait suivant : étant donné un groupe G de matrices à coefficients dans le corps de nombres complexes, soit G contient un groupe libre non commutatif, soit G est presque résoluble (c'est-à-dire que G contient un sous-groupe résoluble d'indice fini). Ce théorème est appelé théorème de l'alternative.
  
  Nous présentons une jolie méthode de construction des groupes libres en utilisant l'algèbre des quaternions, c'est-à-dire les matrices de dimension 3 à coefficients réels qui représentent les rotations de l'espace R^3.
  
  L'exposé est de nature introductive et toutes les notions utilisées seront rappelées.
• Pedro V. Silva (Centro de Matemàtica da Universidade do Porto) : La machine de Cayley d'un groupe fini
  On peut voir le graphe de Cayley d'un groupe fini G comme un automate de Mealy engendrant un certain groupe d'automate H. Si G est abélien, H est le produit en couronne G * Z, en général c'est une extension cyclique d'un groupe localement fini. La combinatoire des groupes d'automates permet d'établir des propriétés variées de ces groupes: algébriques, combinatoires, analytiques et probabilistes.
• Samy Abbes (LIAFA) : Un exemple de système concurrent probabiliste : les traces aléatoires
  On étudie le modèle des traces aléatoires (traces formées à partir de lettres générées aléatoirement) du point de vue de la théorie de l'information. On définit en particulier la notion de capacité d'un monoïde de traces.
  La deuxième partie traitera de problèmes ouverts, en particulier sur des modèles probabilistes de concurrence plus généraux que les monoïdes de traces.
• Xavier Bressaud (IML - Univ. Aix-Marseille II) : Une forme normale pour les groupes de tresses
  Je me propose de présenter une forme normale (apparemment originale) pour les groupes de tresses. Elle est apparue dans le cadre d'un travail sur les marches aléatoires sur ces groupes. Elle permet d'obtenir une image combinatoire du bord dans le cas de B_3. Un resultat comparable dans B_n (n >3) reste conjectural. Mais dans tous les cas, elle admet une interprétation géometrique qui me semble justifier qu'on s'y intéresse.
• Abdelmalek Abdesselam (LAGA - Univ. Paris 13) : Diagrammes de Feynman en physique, combinatoire et théorie des invariants
  Les diagrammes de Feynman sont essentiellement une représentation graphique pour des tenseurs obtenus par contraction d'indices à  partir d'un certain nombre de briques élémentaires. J'expliquerai brièvement leur origine en théorie des champs, où les espaces vectoriel sous-jacents sont de dimension infinie. Je montrerai ensuite certaines applications à l'inversion de séries formelles et l'approche combinatoire de la conjecture jacobienne. Enfin je parlerai de leur rôle dans la théorie classique des invariants et la compréhension de la mêthode symbolique.

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  Entracte

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  Comment développer des résidus et résultants multidimentionnels en somme de diagrammes de Feynman?
  Le déterminant est un polynôme dans les coefficients des équations d'un système linéaire homogène dont l'annulation détecte la présence de solutions non nulles. Le résultant fait la même chose dans le cas non linéaire. On s'intéresse ici au problème, très largement ouvert, de sa représentation symbolique classique c'est-à-dire sous forme de somme sur des diagrammes de Feynman.
• Sara Brofferio (Laboratoire de mathématiques - Univ. Paris Sud) : Groupe des allumeurs de réverbères, graphe de Diestel-Leader et marches aléatoires
  On considère des réverbères placés à  intervalles réguliers le long d'une route et un allumeur qui marche aléatoirement sur la route et qui allume ou éteint les lampes qu'il croise. On construit de cette façon un processus aléatoire sur l'ensemble obtenu comme produit cartésien de la droite des entiers (la position de l'allumeur) multipliée par toutes les possibles configurations de 0 et 1 sur cette droite (les réverbères). Dans les dernières années les mathématiciens se sont régulièrement intéressés à ce modèle ainsi qu'au groupe sous-jacent.
  On peut associer à la marche aléatoire de l'allumeur de réverbères, une marche aléatoire sur un graphe opportun, appelée graphe de Diestel-Leader, qui est le produit horocyclique de deux arbres. De cette approche on obtient une meilleure compréhension de la géométrie de la marche de l'allumeur, qui nous permet de donner une description complète des fonctions harmoniques.
  Dans la deuxième partie je montrerai comment, pour des marches à plus proches voisins, on peut décomposer la fonction de Green de l'allumeur de réverbères en somme pondérée des fonctions de Green sur les deux arbres et en déduire ainsi le comportement asymptotique précis.
• Vadim Kaimanovich (International University Bremen) : La moyennabilité des groupes auto-similaires et marches aléatoires
  On va donner un survol des résultats récents sur les propriétés analytiques de certains groupes auto-similaires (ou automatiques) obtenus à l'aide de méthodes probabilistes (y compris les marches aléatoires aux degrés de liberté cachés).
• Thomas Bonald (France Telecom R&D et ENS) : Réseaux de files d'attente insensibles
  Nous décrivons une classe très générale de réseaux de files d'attente à processeur partagé dont les taux d'arrivées, les taux de service et les probabilités de routage sont des fonctions de l'état du réseau. Nous donnons des conditions sous lesquelles la distribution stationnaire est explicite et montrons que ces conditions sont nécessaires et suffisantes pour que le réseau soit "insensible" au sens où la distribution stationnaire de l'état du réseau ne dépend de la distribution des temps de service que par leur moyenne. Cette propriété est très utile en pratique car elle permet de s'affranchir de la connaissance précise des statistiques des requêtes des clients.
• Moez Draief (Statslab, Cambridge University) : Seuils épidémiques et applications à différentes familles de graphes
  Je présenterai des conditions sous lesquelles on observe des transitions de phase pour deux modèles classiques d'épidémies (SIS et SIR). J'illustrerai ensuite ces résultats pour certaines familles de graphes (graphe complet, hypercube, graphe régulier, graphe d'Erdös-Rényi et graphe power-law).
• Zur Izhakian (Bar Ilan University) : Extended Tropical Mathematics - Basic Notions
  Tropical mathematics is a mathematics over the tropical semiring, (R,+,max), the real numbers equipped with the operations of maximum and summation - addition and multiplication respectively. The objective of the lecture is to present an overview of the fundamentals of tropical algebra/geometry defined over the extended tropical semiring - a new structure that generalizes the former structure. The included topics will be: basic structure of the extended tropical semiring, its corresponding convex geometry and the compatible matrix algebra.
• Julien Ah-Pine (Thales & Paris 6) : Modélisation relationnelle max-min du paradoxe de Condorcet
  Rappels en théorie du choix social : le paradoxe de Condorcet, le théorème d'impossibilité d'Arrow et les conditions de restriction de domaine (Black, Inada, Sen)
• Rappels en théorie de l'analyse relationnelle : la résolution du problème de l'agrégation et du consensus de plusieurs relations par programmation linéaire en nombres bivalents
• Extension des matrices relationnelles collectives au dioïde ({-M,...,M},max,min) et modélisation algébrique des conditions de restriction de domaine par des opérateurs matriciels

Thierry Bousch (Orsay) : Calcul du temps de cycle pour un graphe d'événements avec deux retardateurs poissonniens
Les "graphes d'événements retardés" sont l'analogue stochastique des "graphes d'événements temporisés" : les temporisations sont remplacées par des "retardateurs", qui sont des dispositifs de retard, possiblement aléatoires, ayant la propriété PEPS (premier entré, premier sorti). Les graphes d'événements retardés ont beaucoup de propriétés communes avec leurs analogues déterministes; en particulier, ils ont un temps de cycle. Après avoir indiqué quelques propriétés générales du temps de cycle, notamment sa dépendance en le marquage initial, je montrerai comment le calculer sur un exemple spécifique, avec une unique transition partagée entre deux boucles contenant chacune un retardateur "poissonnien" (i.e. sans mémoire).

Eric Thierry (LIAFA et ENS Lyon) : Automates cellulaires asynchrones : les mystères de l'automate 178
L'automate cellulaire 178 est un automate unidimensionnel élémentaire (deux états possibles pour chaque cellule). Avec une règle très simple de mise à jour (je change d'état si un voisin a un état différent du mien), sa dynamique en régime synchrone a été très bien caractérisée. Par contre pour des régimes asynchrones, son comportement est bien moins compris. En particulier, si à chaque étape les cellules se mettent à jour avec probabilité p indépendamment les unes des autres, la dynamique varie fortement selon la valeur de p. Plusieurs propriétés intéressantes ont été identifiées pour cet automate simple en apparence : phénomène de transition de phase par rapport à p, lien avec la percolation dirigée, lien avec la dynamique d'un autre automate classique "Minorité en 2 dimensions". Cet exposé sera l'occasion de présenter les comportements observés, ceux qui sont prouvés et surtout les conjectures qui restent en suspens.

Marie Albenque (LIAFA) : Animaux dirigés et automates cellulaires probabilistes.

Nicolas Broutin (INRIA Rocquencourt) : Percolation, hauteur d'arbres et applications
Il existe un lien très fort entre les modèles de percolation de premier passage et les performances des structures de données arborescentes. Je présenterai un modèle basé sur ce lien qui permet de trouver de manière très naturelle la hauteur de nombreux arbres aléatoires reliés aux structures de données. Ceci unifie certains résultats classiques (autour des arbres binaires de recherche par exemple) et ouvre de nouveaux horizons, en particulier pour l'étude des partitions géométriques utiles dans les applications graphiques.

Sylvain Schmitz (LORIA) : Vérification de grammaires modulaires
L'emploi de grammaires algébriques non restreintes, ou de grammaires d'expressions d'analyse, offre une modularité appréciable pour l'ingénierie des grammaires de langages de programmation. Le pendant de cette souplesse réside dans la difficulté de détecter les ambiguïtés des premières ou les problèmes d'ordonnancement des deuxièmes. L'exposé présente plusieurs techniques apportant des réponses approximatives à ces problèmes indécidables.

Ana Busic (LIG (Grenoble)) : Construction algorithmique des modèles markoviens bornants
Les techniques classiques d'analyse de modèles markoviens sont souvent confrontées au problème d'explosion combinatoire de l'espace d'états du système. Cependant, dans la pratique, il est souvent important de connaître des bornes sur des mesures de performances du système et non pas leur valeurs exactes. L'idée principale consiste donc à construire un modèle plus simple à résoudre (avec une structure particulière du graphe de transition ou avec un espace d'états réduit) et qui donne des bornes pour des mesures de performances appartenant à une famille de fonctions (par exemple des fonctions croissantes ou croissantes convexes). Je vais commencer ce séminaire par une introduction à la comparaison des variables et processus aléatoires et la propriété de la monotonie des processus markoviens. L'accent sera mis sur ses aspects algébriques, permettant une construction algorithmique des modèles bornants. Dans cette première partie nous allons considérer des modèles avec un espace d'états totalement ordonné et l'ordre stochastique usuel (st), généré par des fonctions croissantes. Dans la deuxième partie, je vais parler des limites de l'ordre stochastique st et des différentes directions possibles pour y répondre.

Xavier Bressaud (IML (Marseille)) : Modèles géométriques pour les substitutions
A partir de l'étude d'un exemple particulier (l'échange d'intervalles d'Arnoux-Yoccoz), je présenterai plusieurs constructions permettant d'obtenir des représentations géométriques de systèmes dynamiques symboliques "auto-similaires" et de donner plus de sens aux images (http://www.math.harvard.edu/~ctm/gallery/index.html et http://iml.univ-mrs.fr/galerie/dac/pix/Arnoux_pix1/index.htm).

De facon plus precise. Soit A un alphabet fini. Une substitution sur A est un morphisme de monoide libre de A* sans effacement. Elle est primitive si, pour un itéré, l'image de chaque lettre contient toutes les lettres de A. L'extension d'une substitution primitive à A^N admet un point périodique. Le décalage sur le sous-shift engendré par un tel point périodique est un système dynamique symbolique "auto-similaire". A un tel système, on peut associer une ligne brisée dans l'abélianisation Z^A de A*. Nous verrons comment les projections de cette ligne brisée sur les sous espaces stables de la matrice (l'abélianisée) de la substitution peut fournir des représentations géométrique du système symbolique. Pour analyser ces projections, nous serons amenés en particulier à définir l'automate des préfixes-suffixes de la substitution et à introduire un automate dual.