Résumé : La fermeture d'un langage rationnel par [semi-]commutation [partielle] a été étudiée dans de nombreux articles. Nous présentons ici quelques résultats nouveaux sur deux problèmes centraux de ce domaine: (1) Dans quels cas la fermeture d'un langage rationnel par [semi-]commutation [partielle] reste-t-elle rationnelle? (2) Y-a-t-il des classes de langages robustes et fermées par [semi-]commutation [partielle]? Nous montrons que la classe Pol G des polynômes de langages à groupe est fermée par commutation totale et aussi par commutation partielle lorsque le complément de I dans A² est une relation transitive. Nous donnons aussi une condition suffisante sur le graphe de I qui assure que la fermeture d'un langage de Pol G par I-commutation est rationnelle. Nous donnons une classe très robuste de langages W fermée par commutation. Cette classe contient Pol G et est décidable. Elle est aussi fermée par intersection, union, mélange, concaténation, quotients, morphismes lettre-à-lettre et inverses de morphismes. Si I est transitive, nous montrons que la fermeture d'un langage de W par I-commutation est rationnelle. Finalement, nous montrons quelques résultats sur les semi-commutations. Les démonstrations sont non triviales et combinent plusieurs techniques, notamment des arguments combinatoires à la Ramsey, des propriétés algébriques du monoïde syntactique, des conditions de finitude sur les semigroupes et des propriétés de systèmes d'insertion.

Abstract : The closure of a regular language under a [partial, semi-] commutation I has been extensively studied. We present new advances on two problems of this area: (1) When is the closure of a regular language under [partial, semi-] commutation still regular? (2) Are there any robust classes of languages closed under [partial, semi-] commutation? We show that the class Pol G of polynomials of group languages is closed under commutation, and under partial commutation when the complement of I in A² is a transitive relation. We also give a sufficient graph theoretic condition on I to ensure that the closure of a language of Pol G under I-commutation is regular. We exhibit a very robust class of languages W which is closed under commutation. This class contains Pol G and is decidable. It is also closed under intersection, union, shuffle, concatenation, quotients, length-decreasing morphisms and inverses of morphisms. If I is transitive, we show that the closure of a language of W under I-commutation is regular. Finally, we prove a few results on semi-commutations. The proofs are nontrivial and combine several advanced techniques, including combinatorial Ramsey type arguments, algebraic properties of the syntactic monoid, finiteness conditions on semigroups and properties of insertion systems.